найдите все такие четырехзначные числа

Найдите все такие четырехзначные числа

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 175(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 175(a + b + c + d) остаётся верным, без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5. Но тогда 4beb6bcf8be1ad1e23543bd56540e8cdПолучаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 50(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две цифры 5. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 5.

Тогда ab = 2(a + b + 10). Так как правая часть последнего равенства делится на 2, то либо a, либо b делится на 2. Будем считать, что на 2 делится b.

Если b = 2, то a = a + 12, что невозможно. Если b = 4, то 2a = a + 14; a = 14, что невозможно.

Если b = 6, то 3a = a + 16; 2a = 16; a = 8. Число n = 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 8, то 4a = a + 18; 3a = 18; a = 6. Этот вариант также получается из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) Число 8655 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Источник

Найдите все такие четырехзначные числа

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

а) Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 210(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно. Тогда a2a8fc4052cbd9a2129c7933e59a3893Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 7.

Тогда ab = a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая — нечётна. Противоречие. Тогда хотя бы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.

Если b = 2, то 2a = a + 16, что невозможно. Если b = 4, то 4a = a + 18; a = 6.

Если b = 8, то 8a = a + 22; 1db619d4cc08aa600dcc3dcd40a29608что невозможно. Число n = 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 6, то 6a = a + 20; a = 4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Источник

Найдите все такие четырехзначные числа

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

Приведём идею другого решения.

Искомое число должно быть записано четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каждая из которых взята один раз. Причём сумма цифр в разрядах тысяч и десятков должна быть равна сумме цифр в разрядах сотен и единиц, а три последние цифры искомого числа должны образовывать трёхзначное число, кратное восьми. Пусть в разряде тысяч стоит 8, тогда в разряде десятков должна быть 2, а в разряде сотен и единиц — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удовлетворяет условию. Далее аналогично для чисел, начинающихся с 2, 4 и 6.

Найти четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите любое такое число.

Если число делится на 44, то оно делится на 4 и на 11. Так как число делится на 4 и две последние цифры должны отличаться на 1, число должно заканчиваться на 12, 32, 56, 76.

Пусть число имеет вид 7d2e8e31a7bbc2f5b122addf8252e423Число делится на 11, если модуль разности сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах, делится на 11. В нашем случае, если 0fc9f87e0a8c972c0c10ee64312dca4dделится 11.

Но модуль 31e04fac6738ed05d509350ac85b686fравен 1, модуль 5c308754ba28dc0292784b9afc42195eравен 1, а значит 0fc9f87e0a8c972c0c10ee64312dca4dпринимает значения 122b5fe42e5ce5f24d38a6f906ef7a36Из них делится на 11 только число 0. Значит, 2344feb8504d55fe8741a341b073615eНеобходимо подобрать такие комбинации цифр, чтобы сумма цифр чётных разрядов была равна сумме цифр нечётных разрядов, и при этом эти цифры не должны отличаться друг от друга более, чем на 1.

Такими числами являются 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Ответ: 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Условие «любые две соседние цифры отличаются на 1» означает, что каждые две соседние цифры должны отличаться на 1, поэтому числа 4356, 3476, 4576 не подходят, поскольку вторая и третья цифры в них различаются более, чем на 1.

Источник

Найдите все такие четырехзначные числа

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

а) Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 210(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно. Тогда a2a8fc4052cbd9a2129c7933e59a3893Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 7.

Тогда ab = a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая — нечётна. Противоречие. Тогда хотя бы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.

Если b = 2, то 2a = a + 16, что невозможно. Если b = 4, то 4a = a + 18; a = 6.

Если b = 8, то 8a = a + 22; 1db619d4cc08aa600dcc3dcd40a29608что невозможно. Число n = 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 6, то 6a = a + 20; a = 4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Источник

Найдите все такие четырехзначные числа

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

а) Произведение цифр числа 6723 равно 252, а сумма цифр равна 18, то есть в 14 раз меньше.

б) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 210(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 35, поэтому среди цифр найдётся цифра 5 и цифра 7. Так как при перестановке местами цифр числа n равенство abcd = 210(a + b + c + d) остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе n цифры c и d равны 5 и 7 соответственно. Тогда a2a8fc4052cbd9a2129c7933e59a3893Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число n существует и a, b, c, d — его цифры. Как и ранее, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: abcd = 49(a + b + c + d). Правая часть этого равенства делится на 49, поэтому среди цифр найдутся две цифры 7. Без ограничения общности будем считать, что c = d = 7.

Тогда ab = a + b + 14. Пусть a и b нечётные. Так как произведение двух нечётных чисел нечётно, а их сумма чётна, получаем: правая часть равенства чётна (сумма чётных чисел чётна), а левая — нечётна. Противоречие. Тогда хотя бы одно из чисел кратно 2. Будем считать, что на 2 делиться b.

Если b = 2, то 2a = a + 16, что невозможно. Если b = 4, то 4a = a + 18; a = 6.

Если b = 8, то 8a = a + 22; 1db619d4cc08aa600dcc3dcd40a29608что невозможно. Число n = 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи. Если b = 6, то 6a = a + 20; a = 4. Этот вариант также получается из предпоследнего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 6723; б) нет; в) Число 4677 и все числа, получаемые из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

Источник

Adblock
detector